Министерство
образования и науки Российской Федерации

Государственное
образовательное учреждение высшего

профессионального
образования

«Тобольская
государственная социально-педагогическая
академия

им.
Д.И. Менделеева»

Кафедра
математики, ТиМОМ

Некоторые диофантовы уравнения

Курсовая
работа

студента
III
курса ФМФ

Матаева
Евгения Викторовича

Научный
руководитель:

к.ф.-м.н.
Валицкас
А.И.

Оценка:
____________

Тобольск
– 2011

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..2

§ 1. Линейные
диофантовы уравнения…………………………………..
3

§ 2. Диофантово
уравнение
x2
y2
=
a……………………………………..9

§ 3. Диофантово
уравнение
x2
+
y2
=
a…………………………………… 12

§ 4. Уравнение
х
2+
х + 1 = 3у
2…………………………………………….. 16

§ 5. Пифагоровы
тройки………………………………………………….. 19

§
6. Великая теорема Ферма………………………………………………23

Заключение……………………………………………………………….……..29

Список
литературы………..
………………………………………………..30

ВВЕДЕНИЕ

Диофантово
уравнение – это уравнение вида P(x1
, … ,
xn)
= 0
,
где левая часть представляет собой
многочлен от переменных x1
, … ,
xn
с целыми коэффициентами. Любой
упорядоченный набор (u1
; … ;
un)
целых чисел со свойством P(u1
, … ,
un)
= 0

называется (частным) решением диофантова
уравнения P(x1
, … ,
xn)
= 0
.
Решить диофантово уравнение – значит
найти все его решения, т.е. общее
решение этого уравнения.

Нашей
целью будет научиться находить решения
некоторых диофантовых уравнений, если
эти решения имеется.

Для
этого, необходимо ответить на следующие
вопросы:

а.
Всегда ли диофантово уравнение имеет
решение, найти условия существования
решения.

б.
Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать
решение диофантова уравнения.

Примеры:
1.

Диофантово уравнение 5x
– 1 = 0

не имеет решений.

2.
Диофантово уравнение 5x
– 10 = 0

имеет решение x
= 2
,
которое является единственным.

3.
Уравнение ln
x
– 8
x2
= 0

не является диофантовым.

4.
Часто уравнения вида P(x1
, … ,
xn)
=
Q(x1
, … ,
xn),
где P(x1
, … ,
xn),
Q(x1
, … ,
xn)
– многочлены с целыми коэффициентами,
также называют диофантовыми. Их можно
записать в виде P(x1
, … ,
xn)
Q(x1
, … ,
xn)
= 0
,
который является стандартным для
диофантовых уравнений.

5.
x2
y2
=
a
– диофантово уравнение второй степени
с двумя неизвестными x
и y
при любом целом a.
Оно имеет решения при a
= 1
,
но не имеет решений при a
= 2
.

§ 1. Линейные диофантовы уравнения

Пусть
a1
, … ,
an
, с
Z
.

Уравнение вида a1x1
+ … + a
nxn
= c

называется линейным диофантовым
уравнением с коэффициентами a1
, … , a
n
,
правой частью c и неизвестными x1
, … , x
n
.
Если правая часть с линейного диофантова
уравнения нулевая, то такое диофантово
уравнение называется однородным.

Наша
ближайшая цель – научиться находить
частные и общие решения линейных
диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
Очевидно, что любое однородное диофантово
уравнение a1x1
+ … + a
nxn
= 0
всегда
имеет частное решение (0;
… ; 0).

Очевидно,
что линейное диофантово уравнение, все
коэффициенты которого равны нулю, имеет
решение только в случае, когда его правая
часть равна нулю. В общем случае имеет
место следующая

Теорема
(о существовании решения линейного
диофантова уравнения).

Линейное диофантово уравнение a1x1
+ … + a
nxn
= c

, не все коэффициенты которого равны
нулю, имеет решение тогда и только тогда,
когда НОД(a1
,
… , a
n)
| c.

Доказательство.
Необходимость условия очевидна: НОД(a1
, … , a
n)
| a
i
(1
i
n),
так что НОД(a1
, … , a
n)
| (a
1x1
+ … +
anxn),
а значит, делит и

c
=
a1x1
+ … +
anxn
.

Пусть
D
= НОД(
a1
, … ,
an),
с
=
Dt

и a1u1
+ … + a
nun
=
D

– линейное разложение наибольшего
общего делителя чисел a1
, … , a
n
. Умножая обе части на t,
получим a1(u1t)
+ … + a
n(unt)
=
Dt
=
c,
т.е. целочисленная

n-ка
(x1t;
… ; x
nt)
является решением исходного уравнения
с n
неизвестными.

Теорема
доказана.

Эта
теорема даёт конструктивный алгоритм
для нахождения частных решений линейных
диофантовых уравнений.

Примеры:
1.

Линейное диофантово уравнение
12x+21y
= 5
не
имеет решений, поскольку НОД(12,
21) = 3
не
делит 5.

2.
Найти частное решение диофантова
уравнения 12x+21y
= 6
.

Очевидно,
что теперь НОД(12,
21) = 3 | 6
,
так что решение существует. Запишем
линейное разложение НОД(12,
21) = 3 = 122 + 21(–1)
.
Поэтому пара (2;
–1)

– частное решение уравнения 12x+21y
= 3
,
а пара (4;
–2)

– частное решение исходного уравнения
12x+21y
= 6
.

3.
Найти
частное решение линейного уравнения
12x
+ 21y – 2z = 5
.

Так
как (12,
21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5
,
то решение существует. Следуя
доказательству теоремы, вначале найдём
решение уравнения (12,21)х–2у=5,
а затем, подставив линейное разложение
наибольшего общего делителя из предыдущей
задачи, получим решение исходного
уравнения.

Для
решения уравнения
– 2у = 5

запишем линейное разложение НОД(3,
–2) = 1 = 31 – 21

очевидно. Поэтому пара чисел (1;
1)

является решением уравнения 3x
– 2
y
= 1
,
а пара (5;
5)

частным решением диофантова уравнения

– 2у = 5
.

Итак,
(12,
21)5 – 25 = 5
.
Подставляя сюда найденное ранее линейное
разложение (12,
21) = 3 = 122 + 21(–1)
,
получим (122+21(–1))5
– 25 = 5
,
или 1210
+ 21(–5) – 25
= 5
,
т.е. тройка целых чисел (10;
–5; 5)
является
частным решением исходного диофантова
уравнения 12x
+ 21y – 2z = 5
.

Теорема
(о структуре общего решения линейного
диофантова уравнения).

Для линейного диофантова уравнения
a1x1
+ … + a
nxn
= c
справедливы
следующие утверждения:

(1)
если

= (u
1
; … ; u
n),
= (v
1
; … ; v
n)
– его частные решения, то разность
(u
1
– v
1
; … ; u
n
– v
n)

частное решение соответствующего
однородного уравнения a1x1
+ … + a
nxn
= 0
,

(2)
множество частных решений линейного
диофантова однородного уравнения
a1x1
+ … + a
nxn
= 0

замкнуто относительно сложения,
вычитания и умножения на целые числа,

(3)
если M
– общее решение данного линейного
диофантова уравнения, а L
– общее решение соответствующего ему
однородного диофантова уравнения, то
для любого частного решения

= (u
1
; … ; u
n)
исходного уравнения верно равенство
M
=
+
L

.

Доказательство.
Вычитая равенство a1v1
+ … +
anvn
=
c
из
равенства a1u1
+ …
+
a
nun
=
c
,
получим
a1(u1
– v
1)
+ … + a
n(un

v
n)
= 0
,
т.
е.
набор

(u1
– v
1
; … ; u
n
– v
n)
– частное решение линейного однородного
диофантова уравнения a1x1
+ … + a
nxn
= 0
.
Таким образом, доказано, что

= (u1
; … ; u
n),

= (v1
; … ; v
n)
M
L
.

Это
доказывает утверждение (1).

Аналогично
доказывается утверждение (2):

,L
z
Z


L
z
L
.

Для
доказательства (3) вначале заметим, что
M

+ L.
Это следует из предыдущего:

M+L
.

Обратно,
если

= (l
1
; … ; l
n)
L и
=
(
u1
; … ; u
n)
M,
то
M
:

a1(u1
+ l
1)+
…+a
n(un
+ l
n)
= (a
1u1
+ … + a
nun)+(a1l1
+ … + a
nln)
= c + 0 = c
.

Таким
образом,
+
L
M,
и в итоге M
=
+
L

.

Теорема
доказана.

Доказанная
теорема имеет наглядный геометрический
смысл. Если рассмотреть линейное
уравнение a1x1
+ … + a
nxn
=
c
,
где хi
R,
то как известно из геометрии, оно
определяет в пространстве Rn
гиперплоскость, полученную из плоскости
L
c
однородным уравнением a1x1+
… +a
nxn=0,
проходящей через начало координат,
сдвигом на некоторый вектор

Rn.
Поверхность вида
+
L
называют также линейным многообразием
с направляющим пространством L
и вектором сдвига
.

Таким образом, доказано, что общее
решение М
диофантова уравнения a1x1
+ … + a
nxn
= c

состоит из всех точек некоторого
линейного многообразия, имеющих целые
координаты. При этом координаты вектора
сдвига тоже целые, а множество L
решений однородного диофантова уравнения
a1x1
+ … + a
nxn
=
0

состоит из всех точек направляющего
пространства с целыми координатами.
По этой причине часто говорят, что
множество решений произвольного
диофантова уравнения образует линейное
многообразие с вектором сдвига
и
направляющим пространством L.

Пример:
для диофантова уравнения х
– у = 1

общее решение M
имеет вид (1+у;
у), где у
Z,
его частное решение
=
(1; 0)
,
а общее решение L
однородного уравнения х
– у = 0

запишется в виде (у;
у)
,
где у
Z
.
Таким образом, можно нарисовать следующую
картинку, на которой решения исходного
диофантова уравнения и соответствующего
однородного диофантова уравнения
изображены жирными точками в линейном
многообразии М
и пространстве L
соответственно.

2.
Найти общее решение диофантова уравнения
12x
+ 21y – 2z = 5
.

Частное
решение (10;
–5; 5)

этого уравнения было найдено ранее,
найдём общее решение однородного
уравнения 12x
+ 21y – 2z = 0
,
эквивалентного диофантову уравнению
12x
+ 21
y
= 2
z.

Для
разрешимости этого уравнения необходимо
и достаточно выполнение условия НОД(12,
21) = 3 | 2z,

т.е. 3
| z

или z
= 3t

для некоторого целого t.
Сокращая обе части на 3,
получим 4x
+ 7y = 2t
.
Частное решение (2; –1) диофантова
уравнения 4x
+ 7y =

1
найдено в предыдущем примере. Поэтому
(4t
; –2t)

– частное решение уравнения 4x
+ 7y = 2t

при любом

t

Z.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения

(7u
; –4
u)
уже найдено. Таким образом, общее
решение уравнения 4x
+ 7y = 2t

имеет вид: (4t
+ 7
u
; –2t – 4
u),
а общее решение однородного уравнения
12x
+ 21y – 2z = 0
запишется
так:

(4t
+ 7
u
; –2t – 4
u
; 3t)
.

Нетрудно
убедиться, что этот результат соответствует
сформулированной выше без доказательства
теореме о решениях однородного диофантова
уравнения а1х1
+ … + а
nхn
= 0
:
если Р
=
,

то Р
и

(u;
t)P
– общее решение рассматриваемого
однородного уравнения.

Итак,
общее решение диофантова уравнения
12x
+ 21y – 2z = 5
выглядит
так: (10
+ 4t + 7
u
; –5 – 2t – 4
u
; 5 + 3t)
.

3.
На
примере предыдущего уравнения
проиллюстрируем другой метод решения
диофантовых уравнений от многих
неизвестных, который состоит в
последовательном уменьшении максимального
значения модулей его коэффициентов.


Добавить комментарий

*
*

Required fields are marked *